Professor Stewarts mathematische Schätze
Aus dem Englischen von Monika Niehaus und Bernd Schuh
Die Rätselaufgaben sind kursiv gekennzeichnet und mit den Lösungen im Anhang verknüpft.
Nächste Schublade …
Trickreicher Taschenrechner
Das Jahr steht Kopf
Lilavati im Liebespech
Sechzehn Zündhölzer
Elefanten verschlucken
Dodgem
Magischer Kreis
Magischer Taschenrechner
Geheimnisvoller Abakus
Rotbarts Schatz
Hexaflexagone
Sterne und Schnipsel
Wer erfand das Gleichheitszeichen?
In den Zahlen von Babylon
Magische Sechsecke
Das Collatz-Syracuse-Ulam-Problem
Das Dilemma des Goldschmieds
Was Seamus nicht wusste
Warum der Toast immer auf die Marmeladenseite fällt
Das Marmeladen-Katzen-Paradox
Lincolns Hund
Whodunnis Würfel
Flexibler Vielflächner
Aber was ist mit dem Akkordeon?
Die Blasebalg-Vermutung
Kubikstellen
Nichts, was einen Mathematiker reizen könnte
Wie groß ist die Oberfläche eines Straußeneis?
Ordnung zu Chaos
Große Zahlen
Mathematik und Piraten
Ein Mathematiker ertrinkt
Der Satz vom gekämmten Igel
Tückische Tassen
Geheime Botschaften
Wenn 2 + 2 Null ergibt
Zur Veröffentlichung geeignet: geheime Schlüssel
Kalendermagie
Katzenmathematik
Vielfache im Quadrat
Die Elferregel
Jeder weiß, dass jeder weiß …
Eingelegte Zwiebeln
Karten raten
Und jetzt mit einem vollständigen Kartensatz
Halloween = Weihnachten
Ägyptische Bruchrechnung
Gierige Algorithmen
Wie man einen Tisch bewegt
Quadrat zu Rechteck
X markiert die Stelle
Alles Antimaterie, oder was?
Wie man ins Innere der Dinge sieht
Mathematikersprüche über Mathematik
Wittgensteins Schafe
Der schiefe Turm von Pisa
Thales’ tolle Torten
Karo-Karree
Alexanders gehörnte Sphäre
Füllverhältnisse
Geheiligtes Matte-Prinzip
Abundanterweise vollkommen defizient befreundet
Zielschießen
Ich mache nur eine Phase durch
Beweistechniken
Nachgedanken
Wie Dudeney Loyd austrickste
Mit Wasser kochen
Himmlische Resonanz
Taschenrechnerkuriosität 2
Was ist größer?
Summen, die wachsen und wachsen
Der absolut unglaubliche Beweis
Colorado Smith und der Sonnentempel
Warum kann man Brüche nicht addieren, wie man sie multipliziert?
Farey-Folgen
Fusion im Markt
Willkommen im Eckladen
Tricksen auf einem Torus
Die Catalan’sche Vermutung
Der Ursprung des Quadratwurzelsymbols
Bärenauslese
Das Schinkensandwich-Theorem
Cricket auf Grumpius
Der Mann, der nur Zahlen liebte
Das fehlende Teil
Die andere Kokosnuss
Was macht Zenon?
Das Stadion-Paradoxon
Fünf Münzen
Himmlisches Pi
Das merkwürdige Ereignis mit dem Hund
Mathematik, schwierig gemacht
Eine seltsame Tatsache über ägyptische Brüche
Ein Vierfarbentheorem
Die Schlange der ewigen Finsternis
Wie stehen die Chancen?
Eine Geschichte der Mathematik in Kurzfassung
Der kürzeste mathematische Witz, den es je gab
Der Schwindel mit der Klimaerwärmung
Karten benennen
Was bedeutet null Komma neun Periode?
Gespenst abgeschiedener Größen
Ein netter kleiner Verdienstzuwachs
Ein Rätsel für Leonardo
Kongruente Zahlen
Geistig abwesend
Es geht um Zeit
Weiche ich Wombats aus?
Die Klein’sche Flasche
Ziffern zählen
Multiplizieren mit Stäben
Solange ich einen Laplace’schen Sonnenuntergang bewundere …
Nochmals mathematische Katzen
Eingebettetes magisches Quadrat aus Primzahlen
Der Satz von Green-Tao
Peaucelliers Gelenkmechanismus
Eine bessere Approximation für π
Nur für Analysis-Fans
Die Statue der Pallas Athene
Taschenrechnerkuriosität 3
Das Quadrat vervollständigen
Die Sehen-und-Sagen-Folge
Nichtmathematiker machen sich Gedanken über Mathematik
Die Euler’sche Vermutung
Die millionste Ziffer
Piratenpfade
Züge, die auf dem Ausweichgleis aneinander vorbeifahren
Bitte, drücken Sie sich klar aus
Quadrate, Folgen und Ziffernsummen
Hilberts Hitliste
Ein Streichholztrick
Welches Krankenhaus sollte geschlossen werden?
Die Pizza zerlegen
Der Ursprung des Symbols für Pi
Griechische und trojanische Asteroiden
Münzen verschieben
Übertreffen Sie das!
Euklids Rätsel
Das Theorem des endlos tippenden Affen
Affen gegen die Evolutionstheorie
Ein universell verwendbarer Empfehlungsbrief
Schlangen und Vipern
Ein Zahlenrätsel mit Potenzial
Magische Taschentücher
Ein Symmetrieleitfaden für Angeber
Hundert aus 9
Unendlich viele Primzahlen
Ein Jahrhundert in Brüchen
Leben, Rekursion und alles
Falsch, nicht spezifiziert, nicht bewiesen
Man beweise, dass 2 + 2 = 4 ist
Einen Donut zerschneiden
Die Kusszahl
Stehaufmännchen Umkehrkreisel
Der Ursprung des Fakultät-Zeichens
Juniper Green
Mathematischer Metawitz
Jenseits der vierten Dimension
Slades Flechtwerk
Nachbarn meiden
Karriereschritt
Ein rollendes Rad gewinnt nicht an Geschwindigkeit
Das Punktplatzierungsproblem
Schach im Flächenland
Die unendliche Lotterie
Schiffe, die vorbeiziehen
Die größte Zahl ist zweiundvierzig
Eine zukünftige Geschichte der Mathematik
Professor Stewarts Wissensspeicher von gewieften Lösungen und anregenden Ergänzungen
Für Avril für vierzig Jahre währende Zuneigung und Unterstützung
Ein Mathematiker ist eine Maschine,
die Kaffee in mathematische Sätze umwandelt.
Paul Erdös
Mit 14 begann ich, mathematische Kuriosa zu sammeln. Das habe ich bis heute fortgeführt, seit nunmehr fast fünfzig Jahren, und die Sammlung hat sich mittlerweile zu einer ganzen Ordnerreihe ausgewachsen. Es gab also reichlich Material, als mein Verleger mir vorschlug, ein «Mathematisches Sammelsurium» zusammenzustellen. Das Ergebnis war Professor Stewarts mathematisches Sammelsurium (rororo 62581), im Hardcover Professor Stewarts mathematisches Kuriositätenkabinett.
Das Kabinett erschien 2008, und in der Vorweihnachtszeit begann es abzuheben. Am zweiten Weihnachtsfeiertag erreichte es Platz 16 in einer bekannten englischen Bestsellerliste und Ende Januar war es dort auf Platz 6 zu finden. Ein Buch über Mathematik fand sich plötzlich in der Gesellschaft von Bestsellern von Stephenie Meyer, Barack Obama, Jamie Oliver und Paul McKenna.
Das konnte natürlich nicht wahr sein: Jedermann weiß, dass sich nicht viele Menschen für Mathematik interessieren. Entweder kaufte meine Verwandtschaft die Regale leer, oder das gängige Vorurteil musste überdacht werden. Also fragte mein Verleger in einer E-Mail an, wie die Aussichten für einen Folgeband stünden, und ich dachte: «Meine mit einem Mal berühmte Sammlung platzt immer noch aus den Nähten, also warum nicht?» Professor Stewarts mathematische Schätze fanden ihren Weg aus dunklen Schubladen ins Tageslicht.
Es ist genau was Sie brauchen, um sich die Zeit auf einer einsamen Insel zu vertreiben. Wie schon beim Vorgänger können Sie überall aufschlagen; Sie können sogar überall in einen Mix aus beiden Büchern eintauchen. Eine gute Mischung sollte gut gemischt sein, dabei bleibe ich. Sie muss sich nicht an irgendeine Ordnung halten. Ja, sie sollte es schon deshalb nicht, weil es keine gibt. Warum sollte ich nicht ein Rätsel, das auf Euklid zurückgeht, zwischen eine Geschichte über skandinavische Könige, die um eine Insel würfeln, und eine Berechnung packen, in der es um die Wahrscheinlichkeit geht, dass ein Affe die Werke Shakespeares rein zufällig zusammentippt?
Wir leben in einer Welt, in der es zunehmend schwieriger wird, sich systematisch durch einen langen und komplizierten Gedankengang zu arbeiten. Das ist zwar immer noch der beste Weg, gut informiert zu bleiben, das gebe ich zu; ich versuche es sogar zuweilen selbst, wenn die Welt mich lässt. Aber wenn die gelehrte Methode nicht funktioniert, gibt es eine Alternative, und dafür braucht man nur ein paar Minuten dann und wann. Offenbar trifft das auch Ihren Geschmack, deshalb: Hier geht es weiter. Ein Radiojournalist hat sich – wohlmeinend, nehme ich an – über das Kabinett so ausgelassen: «Ich denke, es ist das ideale Buch für die Toilette.» Allerdings lassen Avril und ich ganz bewusst keine Bücher auf dem Gästeklo liegen, damit wir nicht um ein Uhr nachts an die Tür klopfen müssen, um einen Gast herauszukomplimentieren, der Krieg und Frieden unerwartet packend fand. Und wir selbst wollen dort auch keine Wurzeln schlagen.
Aber so ist das, der Radiomann hat schon recht. Wie sein Vorgänger sind Professor Stewarts mathematische Schätze genau die Sorte Buch, die man auf die Zug- oder Flugreise mitnimmt, oder an den Strand. Oder um über Weihnachten zwischen Sportnachrichten und Seifenopern darin zu blättern. Oder was auch immer Sie anspricht.
Professor Stewarts mathematische Schätze soll Spaß machen, keine Arbeit. Es ist keine Prüfung, kein zentraler Lehrstoff, es gibt nichts anzukreuzen. Sie brauchen sich nicht vorzubereiten. Tauchen Sie einfach ein.
Einige Einträge gehören ganz natürlich zusammen, deshalb habe ich sie zusammen gelassen, und vorausgehende Einträge erhellen zuweilen spätere. Falls Sie auf Begriffe stoßen, die nicht erklärt werden, habe ich sie wahrscheinlich in einem früheren Eintrag besprochen. Abgesehen von denen, die meiner Meinung nach keiner Erklärung bedurften, oder die ich schlicht vergessen habe. Blättern Sie einfach zurück, und mit etwas Glück finden Sie das Gesuchte.
Eine Seite aus meinem ersten Notizbuch
Als ich auf der Suche nach neuen Preziosen für Professor Stewarts mathematische Schätze meine Schubladen durchwühlte, habe ich deren Inhalt für mich nach bestimmten Kategorien geordnet: Rätsel, Spiel, Schlagwort, Frotzelei, oft gefragt, Anekdote, Infodepot, Scherz, Wow!, Factoid, Merkwürdigkeit, Paradox, Hörensagen, Geheimnis und so weiter. Es gab Unterabteilungen der Rätsel (altbekannte, logische, geometrische, rechnerische, etc.), und viele Kategorien überschnitten sich. Ich habe daran gedacht, die Einträge zu etikettieren, damit Sie sehen, welcher Art sie sind; aber es hätte zu viele Etiketten gegeben. Ein paar Hinweise dürften allerdings ganz hilfreich sein.
Die Rätselaufgaben sind daran zu erkennen, dass sie aufhören mit Antwort auf Seite xxx. Einige Rätsel sind schwieriger als andere, aber nicht außergewöhnlich schwierig. Die Lösung ist auch dann – oder gerade dann – lesenswert, wenn Sie die Aufgabe nicht angehen. Allerdings werden Sie die Lösung eher zu schätzen wissen, wenn Sie einen Zugang zur Frage haben, ganz gleich wie schnell Sie aufgeben. Einige Aufgaben sind in längere Geschichten eingebettet; das sagt nichts über die Schwierigkeit der Aufgabe, lediglich, dass ich gern Geschichten erzähle.
Fast alle Themen erschließen sich demjenigen, der Mathematik in der Schule hatte und noch ein wenig daran interessiert ist. Die häufig gestellten Fragen betreffen ausdrücklich Schulmathematik. Warum addiert man Brüche nicht auf dieselbe Weise, wie man sie multipliziert? Was bedeutet Komma neun Periode? Solche Fragen wurden mir häufig gestellt, und dies schien mir eine gute Gelegenheit, zu erklären, was dahinter steckt. Was nicht notwendig mit dem übereinstimmt, was Sie erwarten, und in einem Fall nicht einmal mit dem, was ich erwartet hatte, als ich mit dem Eintrag begann. Eine zufällig eintrudelnde E-Mail ließ mich in diesem Fall umdenken.
Die Schulmathematik ist aber nur ein winziger Teil einer Unternehmung, die sich über Jahrtausende menschlicher Kultur und den ganzen Planeten erstreckt. Mathematik ist für fast alles unersetzlich, das unser Leben beeinflusst – Handys, Medizin, Klimawandel – und sie entwickelt sich schneller als jemals zuvor. Doch geschieht das weitgehend im Verborgenen, sodass man leicht annehmen könnte, es würde gar nicht geschehen. Deshalb gehe ich in den Mathematischen Schätzen etwas mehr auf kniffelige oder ungewöhnliche Anwendungen der Mathematik ein, sowohl im Alltag als auch in der Wissenschaft; und weniger auf die großen Fragen der reinen Mathematik, hauptsächlich, weil ich einige der wirklich spannenden bereits im Kabinett behandelt habe.
Die Spannbreite der Themen reicht von der Oberfläche eines Straußeneis bis hin zu dem rätselhaften Ungleichgewicht zwischen Materie und Antimaterie kurz nach dem Urknall. Außerdem habe ich einige historische Themen wie die Zahlen der Babylonier, den Abakus und altägyptisches Bruchrechnen mit hineingenommen. Die Geschichte der Mathematik reicht mindestens 5000 Jahre zurück, und noch heute sind Entdeckungen der Vergangenheit wichtig, weil Mathematik auf den früheren Erfolgen aufbaut.
Einige Einträge sind länger als die übrigen – Mini-Essays über wichtige Begriffe und Themen, die Ihnen vielleicht in den Nachrichten begegnet sind, wie zum Beispiel die vierte Dimension, Symmetrie oder wie man eine Kugel von innen nach außen stülpt. Diese Themen gehen nicht wirklich über die Schulmathematik hinaus, sie führen vielmehr in eine völlig andere Richtung. Mit der Mathematik hat es viel mehr auf sich, als den meisten unter uns bewusst ist. Ich habe außerdem einige rechentechnische Anmerkungen in den Notizen untergebracht, die unter den Antworten verstreut sind. Ich fand, dass diese Dinge gesagt werden sollten; man kann sie aber ebenso leicht ignorieren. Wo notwendig, habe ich Querverweise zum Kabinett gemacht.
Gelegentlich werden Sie auf eine kompliziert aussehende Formel stoßen, obwohl die meisten in die Anmerkungen am Ende des Buches verbannt worden sind. Falls Sie Formeln hassen, lassen Sie sie einfach aus! Die Formeln stehen da, um Ihnen zu zeigen, wie sie aussehen, nicht weil Sie eine Prüfung ablegen sollen. Manche Leute lieben Formeln, denn sie können außerordentlich schön sein – eine zugegeben angelernte Ästhetik. Ich wollte mich auch nicht davor drücken, wichtige Details zu erwähnen; ich finde das persönlich sehr nervig, wie manche Fernsehprogramme, die darauf herumreiten, wie aufregend eine neue Entdeckung ist, Ihnen eigentlich nichts darüber mitteilen.
Trotz der zufälligen Anordnung ist der beste Weg, die Mathematischen Schätze zu lesen, wahrscheinlich der offensichtliche: sich von Anfang bis zum Ende durcharbeiten. Auf diese Weise werden Sie nicht am Ende eine Seite sechsmal gelesen und dabei eine weit interessantere ausgelassen haben. Andererseits sollten Sie mit freudigem Eifer zu einem anderen Thema wechseln, sobald Sie merken, dass Sie versehentlich in die falsche Schublade gegriffen haben.
Das ist nicht die einzig mögliche Herangehensweise. Während eines Großteils meines Berufslebens habe ich Mathematikbücher von hinten nach vorn gelesen, dabei immer nach etwas Ausschau gehalten, das mich interessiert, weiter nach vorn geblättert, bis ich die Fachausdrücke gefunden hatte, die ich dafür brauchte; schließlich habe ich wieder in der normalen Richtung gelesen, um genau zu verstehen, wie es richtig geht.
Nun, das ist meine Art. Sie bevorzugen möglicherweise das übliche Vorgehen.
Ian Stewart
Coventry, April 2009
Geben Sie Ihrem Taschenrechner die folgenden Aufgaben:
(8 × 8) + 13
(8 × 88) + 13
(8 × 888) + 13
(8 × 8888) + 13
(8 × 88888) + 13
(8 × 888888) + 13
(8 × 8888888) + 13
(8 × 88888888) + 13
Einige Ziffern sehen, auf den Kopf gestellt, ziemlich gleich aus: 0, 1, 8. Zwei weitere bilden ein Ziffernpaar, von dem die eine aussieht wie die andere, wenn man sie umdreht: 6, 9. Die übrigen, 2, 3, 4, 5, 7, sehen nicht mehr wie Ziffern aus, wenn man sie auf den Kopf dreht. (Gut, wenn man die 7 mit einem geschwungenen Querbalken schreibt, dann sieht sie umgedreht der 2 ähnlich.) Die Jahreszahl 1691 bleibt gleich, wenn man sie auf den Kopf stellt.
Welche nächstgelegene Jahreszahl der Vergangenheit verändert sich nicht, wenn sie auf den Kopf gestellt wird?
Welches ist das nächste Jahr in der Zukunft, für das dies ebenfalls gilt?
Lilavati
Zu den großen Mathematikern im alten Indien zählt der im Jahr 1114 geborene Bhaskara, «der Lehrer». Eigentlich war er Astronom: Zu seiner Zeit bestand Mathematik hauptsächlich als astronomische Rechentechnik. Mathematik kam in Schriften über Astronomie vor, eine eigene Disziplin war sie nicht. Zu Bhaskaras bekanntesten Werken gehört ein Buch namens Lilavati. Und dazu gibt es eine Geschichte.
Fyzi, Hofdichter des Großmoguls Akbar, schrieb, dass Lilavati Bhaskaras Tochter sei. Da sie in heiratsfähigem Alter war, erstellte Bhaskara ihr Horoskop, um den günstigsten Zeitpunkt für eine Hochzeit zu bestimmen. (In der beginnenden Renaissance verdienten viele Mathematiker ihren Lebensunterhalt mit dem Erstellen von Horoskopen.) Bhaskara, offenbar ein Mann mit Sinn für Showeffekte, dachte sich etwas aus, um seine Vorhersage dramatischer zu gestalten. In den Boden einer Schale bohrte er ein Loch und ließ sie in einer Schüssel mit Wasser schwimmen; es war alles so konzipiert, dass die Schale genau im schicksalhaften Moment untergehen würde.
Dummerweise beugte sich die neugierige Lilavati in der Hoffnung über die Schüssel, dass die Schale unterginge. Eine Perle löste sich von ihrem Kleid, fiel in die Schale und verstopfte das Loch. Die Schale sank nicht, und die arme Lilavati konnte nie heiraten.
Um sie aufzuheitern, schrieb Bhaskara das Mathematikbuch für sie.
Echt toll, Vati, vielen Dank!
Sechzehn Streichhölzer sind so angeordnet, dass sie fünf Quadrate bilden.
Verringern Sie die Zahl der Quadrate auf vier, indem Sie genau zwei Streichhölzer verlegen. Es werden alle Streichhölzer gebraucht, jedes gehört zu genau einem Quadrat.
Sechzehn Streichhölzer bilden fünf Quadrate.
Elefanten tragen immer pinkfarbene Hosen.
Jedes Lebewesen, das Honig isst, kann Dudelsack spielen.
Alles, was leicht zu schlucken ist, isst Honig.
Kein Lebewesen, das pinkfarbene Hosen trägt, kann Dudelsack spielen.
Folglich:
Elefanten sind leicht zu schlucken.
Ist die Herleitung (logisch) korrekt oder nicht?
Dieses mathematische Spiel mit seinen sehr einfachen Regeln zu spielen macht selbst auf einem kleinen Spielbrett großen Spaß. Es wurde von dem Rätselexperten und Autor Colin Vout erfunden. Im Bild sieht man das 4 × 4-Spielbrett.
Die Spieler bewegen ihre Steine im Wechsel jeweils ein Feld weiter, und zwar nach vorne, nach rechts oder nach links, so wie durch die Pfeile «weiße Zugrichtung» und «schwarze Zugrichtung» im Bild dargestellt. Ein Stein kann nicht bewegt werden, wenn das Feld durch einen gegnerischen Stein blockiert ist. Die Steine dürfen das Spielfeld nur über den jeweils gegenüberliegenden Spielfeldrand verlassen. Jeder Spieler muss dem andern immer wenigstens einen erlaubten Zug ermöglichen; tut er das nicht, hat er das Spiel verloren. Wer als Erster alle seine Steine über den Spielfeldrand gebracht hat, ist Sieger.
Die Aufstellung auf einem größeren Spielfeld ist ähnlich, weiße Steine besetzen die äußerste linke Spalte, schwarze Steine die unterste Reihe; das Feld in der linken unteren Ecke bleibt unbesetzt.
Vout hat bewiesen, dass der Anziehende auf einem 3 × 3-Brett mit der richtigen Strategie immer gewinnt. Für größere Spielfelder ist keine Gewinnstrategie bekannt. Auf einem 8 × 8-Dame-Brett mit Damesteinen lässt sich das Spiel gut spielen.
Es scheint naheliegend, quadratische Spielbretter zu benutzen. Auf einem rechteckigen Spielfeld hat ein Spieler weniger Spielsteine, aber er muss sie auch weiter bewegen. Soviel ich weiß, ist dieser Fall noch nicht untersucht.
Summe 14 auf jedem großen Kreis
Jeder der drei großen Kreise in der Abbildung verläuft durch vier kleinere Kreise. Nummerieren Sie die kleinen Kreise mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 so, dass sich die vier Zahlen, die zu einem großen Kreis gehören, jeweils zu 14 addieren.
Diesen Trick habe ich dem Großen Whodunni zu verdanken, ein bislang unbekannter Bühnenmagier, der breitere Beachtung verdient. Der Trick macht sich gut auf Partys, und nur die anwesenden Mathematiker werden erraten, wie er geht.1 Er ist auf das Jahr 2009 zugeschnitten, aber ich werde Ihnen erklären, wie man ihn für das Jahr 2011 verändert, und auf Seite 347 werde ich ihn für jedes beliebige Jahr abändern.
Whodunni bittet einen Freiwilligen aus dem Publikum zu sich, und seine wunderschöne Assistentin Grumpelina bringt ihnen einen Taschenrechner.
Dann lässt sich Whodunni wichtigtuerisch darüber aus, dass das einmal ein ganz gewöhnlicher Taschenrechner war, bis die Magie ihn streifte.
Nun könne er Ihre verborgenen Geheimnisse enthüllen.
«Ich werde Sie bitten, etwas auszurechnen», sagt er dann. «Mein magischer Taschenrechner wird aus dem Ergebnis Ihre Hausnummer und Ihr Alter herauslesen.» Danach bittet er, folgende Rechnung auszuführen:
Geben Sie Ihre Hausnummer ein.
Verdoppeln Sie sie.
Addieren Sie 42.
Multiplizieren Sie mit 50.
Ziehen Sie Ihr Geburtsjahr ab.
Subtrahieren Sie 50.
Zählen Sie die Zahl der Geburtstage hinzu, die Sie dieses Jahr
hatten, also 0 oder 1.
Ziehen Sie 42 ab.
«Ich sage nun voraus», erklärt Whodunni, «dass die beiden letzten Ziffern des Resultats Ihr Alter angeben, während die übrigen Ziffern Ihre Hausnummer darstellen.»
Lassen Sie uns das an der blonden Grumpelina testen, die in Hausnummer 327 wohnt. Geboren wurde sie am 31. Dezember 1979, und lassen Sie uns annehmen, dass Whodunni seinen Trick am Weihnachtstag 2009 vorführt, als sie noch 29 ist.
Geben Sie die Hausnummer ein: 327.
Verdoppeln Sie sie: 654.
Addieren Sie 42 : 696.
Multiplizieren Sie mit 50 : 34 800.
Ziehen Sie das Geburtsjahr ab: 32 821.
50 abziehen: 32 771.
Addieren Sie die Zahl der Geburtstage, die Grumpelina in diesem Jahr gehabt hat (0): 32 771.
Ziehen Sie 42 ab: 32 729.
Die beiden letzten Ziffern sind 29, Grumpelinas Alter. Die restlichen, 327, sind ihre Hausnummer.
Der Trick funktioniert bei jedem zwischen 1 und 99 und für jede noch so große Hausnummer. Sie könnten auch nach einer Telefonnummer fragen und es würde immer noch klappen. Allerdings hat Grumpelina eine Geheimnummer, deshalb kann ich den Trick damit nicht vorführen. Falls Sie das Kunststück im Jahr 2011 machen wollen, ersetzen Sie die letzte Anweisung durch «Ziehen Sie 40 ab».
Natürlich braucht man keinen magischen Rechner, ein ganz gewöhnlicher tut’s. Und Sie müssen auch nicht verstehen, wie die Sache funktioniert, um Ihre Freunde zu beeindrucken. Aber wer das Geheimnis kennen möchte – ich habe es auf Seite 346 erklärt.
Im Zeitalter der elektronischen Taschenrechner erscheint ein Gerät namens Abakus ziemlich unmodern. Viele kennen ihn (nur) als Lernspielzeug, bestehend aus einer Reihe von Stäben, auf denen Kugeln hin und her gleiten, um Zahlen darzustellen. Allerdings ist der Abakus viel bedeutsamer, und solche Geräte sind, vor allem in Afrika und Asien, noch weit verbreitet. Einen Überblick über ihre Geschichte bietet:
http://en.wikipedia.org/wiki/Abacus
Das Funktionsprinzip des Abakus beruht darauf, dass die Anzahl der Kugeln auf einem Stab eine Stelle in einer Zahl darstellt und man die Grundrechenarten durch geeignete Verschiebungen der Kugeln nachvollziehen kann. Geübte Nutzer können damit genauso schnell Zahlen addieren wie jemand mit einem Taschenrechner, und kompliziertere Dinge wie Multiplizieren erweisen sich als durchaus praktikabel.
Die Sumerer kannten den Abakus etwa um 2500 v. Chr. und die Babylonier wahrscheinlich auch. Es gibt auch Hinweise auf den Abakus im alten Ägypten, aber bislang hat man noch keine Abbildungen davon gefunden; lediglich Scheibchen, die möglicherweise zum Zählen gedient haben. Der Abakus war in der persischen, griechischen und römischen Welt in Gebrauch. Die weitaus effizienteste Bauart war lange Zeit die, welche die Chinesen etwa vom 14. Jahrhundert an benutzten; sie heißt suànpán. Ein suànpán hat zwei Sätze Kugeln; die auf den unteren Stäben stehen für 1, die auf den oberen für 5. Die Kugeln nächst der Trennlinie bestimmen die darzustellende Zahl. Das Gerät war mit 20 cm Höhe und seiner variablen Breite (die von der Anzahl der Stäbe abhing), recht groß. Man legte es flach auf den Tisch, damit die Kugeln nicht ungewollt verrutschten.
Die Zahl 654 321 auf einem chinesischen Abakus
Von 1600 an übernahmen die Japaner den chinesischen Abakus, machten ihn kleiner und einfacher zu handhaben und nannten ihn soroban. Die Hauptunterschiede waren, dass die Kugeln nun eine hexagonale Form bekamen, so passten die Finger besser dazwischen. Um 1850 verkleinerte man den oberen Abschnitt auf eine Reihe Kugeln, und etwa ab 1930 reduzierte man den unteren Teil auf vier Reihen.
Japanischer Abakus in Nullstellung
Der erste Schritt jeder Berechnung besteht darin, den Abakus auf Null zu stellen. Man macht das am besten, indem man den Abakus aufrecht stellt, sodass alle Kugeln nach unten rutschen. Danach legt man den Abakus flach hin und schiebt mit einem Finger der Reihe nach von links nach rechts alle Kugeln oberhalb der Trennlinie nach oben.
Japanischer Abakus zeigt die Zahl 9 876 543 210
Wie zuvor steht jede Kugel in der unteren Hälfte für 1, jede in der oberen für 5. Die Japaner machten den Abakus effizienter, indem sie überflüssige Kugeln, die keine neue Information lieferten, wegließen.
Wer den soroban bedient, legt Daumen und Zeigefinger leicht auf die Kugeln der oberen und unteren Hälfte. Dann muss man verschiedene «Züge» lernen und einüben, ganz ähnlich einem Musiker, der ein Instrument spielen lernt. Diese Züge oder Bewegungen sind die Grundbestandteile jeder Berechnung; und die Berechnung selbst ähnelt dem Spielen einer kleinen «Melodie». Eine Menge sehr ausführlicher Abakus-Techniken findet man auf:
www.webhome.idirect.com/~totton/abacus/pages.htm»Soroban1
Zehnminütiges YouTube-Video: Demonstration der Benutzung des europäischen Abakus:
http://www.youtube.com/watch?v=jwabVzlobZI
Ich will nur die leichtesten Techniken erwähnen.
Eine Grundregel ist: von links nach rechts arbeiten. Das steht im Gegensatz zu dem, wie man in der Schule Rechnen lehrt, wo die Rechnung ja von den Einern über die Zehner zu den Hundertern und so weiter fortschreitet. Allerdings sprechen wir Zahlen teilweise von links nach rechts: «viertausend-dreihundert-ein-und-zwanzig». Es ist durchaus sinnvoll, sich Zahlen auf diese Weise vorzustellen und mit ihnen zu rechnen. Außerdem stellen die Kugeln eine Art Gedächtnis dar, sodass man mit den «Überträgen» nicht durcheinander kommt.
Um zum Beispiel 572 und 142 zu addieren, verfahre man nach den Anweisungen in der Abbildung. Ich habe die Stäbe von rechts nach links mit 1, 2, 3 benannt, weil das unserem Denken entspricht. Der vierte Stab spielt keine Rolle, würde es aber, wenn wir zum Beispiel 572 und 842 addieren müssten; dann würde 5 + 8 = 13 eine 1 als Übertrag auf den vierten Stab bringen.
Eine Basistechnik taucht bei der Subtraktion auf. Ich verzichte hier auf die Abbildung, aber das Prinzip geht so: Um 142 von 572 abzuziehen, verwandelt man jede Ziffer x in 142 in ihr Komplement 10 – x. Aus 142 wird so 968. Jetzt addiert man 572 und 968 wie zuvor. Das Ergebnis ist 1540, andererseits ergibt 572 – 142 natürlich 430. Aber ich habe auch noch nicht erwähnt, dass man bei jedem Schritt 1 von dem jeweils nächsten Stab links abzieht. Auf diese Weise verschwindet die 1 ganz links, aus der 5 wird 4, aus der 4 eine 3 und die 0 bleibt wie sie ist.
Warum funktioniert das, und warum machen wir nichts mit den Einerzahlen ganz rechts?
Kapitän Roger Rotbart, der wildeste Pirat zwischen den Windigen Inseln, starrte bestürzt auf ein Diagramm, das er am Strand der Lagune von Seils End in den Sand gemalt hatte. Vor einigen Jahren hatte er dort eine Schatzkiste mit spanischen Silbermünzen vergraben und wollte nun die Truhe bergen. Aber er hatte vergessen, wo sie lag. Zum Glück hatte er sich eine schlaue Gedächtnisstütze gebastelt. Unglücklicherweise ein bisschen zu schlau.
Er wandte sich an die Bande wilder Rowdys, die seine Mannschaft darstellte.
«Hey, ihr stinkigen Schiffsratten! Hallo, Dumpfbacke, stell mal das eklige Fässchen weg und hör zu!»
Nach einer Weile kehrte Ruhe ein.
«Ihr erinnert euch, wie wir die Prinz von Spanien geentert haben? Und kurz bevor ich die Gefangenen den Haien zum Fraß vorgeworfen habe, hat uns einer von denen verraten, wo sie ihre Beute versteckt hatten? Und wir haben alles ausgegraben und an einem sicheren Ort versteckt?»
Zustimmendes Gebrüll ertönte.
«Also, die Schatzkiste liegt nördlich dieses Felsens, der aussieht wie ein Totenschädel. Wir müssen nur noch rauskriegen, wie weit nördlich. Nun, was ich weiß ist, dass die genaue Anzahl der Schritte genauso groß ist wie die Anzahl der Möglichkeiten, das Wort GOLDRAUB zu buchstabieren, indem man mit dem Finger bei dem G an der Spitze dieses Diagramms beginnt und dann zum nächstgelegenen Buchstaben rechts oder links eine Reihe tiefer geht.
Ich biete demjenigen zehn Goldstücke, der mir als Erster diese Zahl nennt. Na, was ist, Jungs?»
Wie viele Schritte braucht man vom Felsen bis zum Schatz?
Es handelt sich um faszinierende mathematische Spielzeuge, ursprünglich von dem bekannten Mathematiker Arthur Stone erfunden, als er noch studierte. Ich führe Ihnen nur das einfachste vor und verweise für weitere auf das Internet.
Schneiden Sie einen Streifen mit zehn gleichseitigen Dreiecken aus und falten Sie das rechte Ende längs der fett gedruckten Linie unter den Rest …
… sodass Sie dies erhalten. Nun falten Sie das obere Ende nach hinten längs der dicken Linie und fädeln es durch die Lücke …
… sodass es so aussieht. Zum Schluss falten Sie die graue Ecke nach hinten und kleben sie fest.
Ergebnis: ein fertiges Trihexaflexagon
Nachdem Sie dieses merkwürdige Gebilde geformt haben, können Sie es verformen. Wenn Sie zwei benachbarte Dreiecke, die durch eine dicke Linie getrennt sind (es handelt sich dabei um Kanten des ursprünglichen Streifens), greifen und hochziehen, öffnet sich in der Mitte eine Lücke und Sie können die Kanten nach außen bringen – Sie stülpen gewissermaßen das Innere des Hexagons nach außen. Dabei ergibt sich eine andere Form. Die kann man wieder verformen und erhält das Ausgangsgebilde.
Wie man ein Hexaflexagon verformt
Mit einem realen Modell geht das alles viel einfacher, als es zu beschreiben. Wenn man die Vorderseite des ursprünglichen Hexagons rot färbt und die Rückseite blau, dann zeigen sich nach der ersten Verformung weitere Dreiecke, die noch ungefärbt sind. Malen Sie diese gelb an. Nun bringt jedes Umstülpen die Farbe der Vorderseite nach hinten, lässt die auf der Rückseite verschwinden und zeigt eine neue Farbe vorn. Der Farbenreigen geht also so:
vorne rot, hinten blau
vorne gelb, hinten rot
vorne blau, hinten gelb
Es gibt kompliziertere Flexagone mit noch mehr verborgenen Flächen, für die man noch mehr Farben braucht. Stone gründete ein «Flexagon-Komitee» mit drei weiteren Doktoranden: Richard Feynman, Brent Tuckerman und John Tukey. 1940 entwarfen Feynman und Tukey eine vollständige mathematische Theorie aller Flexagone. Ein guter Ausgangspunkt für eine Reise in die ausgedehnte Welt der Flexagone ist: http://en.wikipedia.org/wiki/Flexagon
Betsy Ross, 1752 geboren, wird gemeinhin das Verdienst zugesprochen, die erste amerikanische Flagge genäht zu haben; sie hatte 13 Sterne, die die 13 Gründungskolonien repräsentierten. (Auf der heutigen Flagge sind sie durch die 13 Streifen symbolisiert.) Historiker debattieren nach wie vor über den Wahrheitsgehalt dieser Legende, weil sie sich hauptsächlich auf mündliche Überlieferung stützt, und in die historische Auseinandersetzung möchte ich gar nicht hineingezogen werden. Dafür: www.ushistory.org/betsy/und http://de.wikipedia.org/wiki/Betsy_Ross
Für dieses Rätsel ist nur wichtig, dass die Sterne auf der amerikanischen Flagge fünf Zacken haben. Augenscheinlich sah George Washingtons ursprünglicher Entwurf sechszackige Sterne vor, aber Betsy Ross bevorzugte die fünfzackigen. Das Komitee wandte ein, dass diese Art Stern schwierig zu fertigen sei. Betsy nahm ein Stück Papier, faltete es und machte daraus einen perfekten fünfzackigen Stern mit einem einzigen Schnitt. Das Komitee gab unsagbar beeindruckt klein bei.
Wie hat sie es gemacht?
Kann man auf ähnliche Weise einen sechszackigen Stern erzeugen?
Man falte und schneide …
… mit diesem Ergebnis.
Die Ursprünge der meisten mathematischen Symbole verlieren sich im Nebel der Vergangenheit, aber die Herkunft des Gleichheitszeichens = ist bekannt. Robert Recorde war ein walisischer Arzt und Mathematiker und schrieb 1557 das Buch The Whetstone of Witte, whiche is the seconde parte of Arithmeteke: containing the extraction of rootes; the cossike practise, with the rule of equation; and the workes of Surde Nombers.2
Darin schrieb er: «Um die mühsame Wiederholung der Wörter ‹ist das gleiche wie› zu vermeiden, werde ich, so wie ich es häufig in meinen Arbeiten tue, zwei gleich lange parallele Striche einsetzen oder Zwillingsstriche 
, weil keine zwei Dinge sich mehr gleichen können als Zwillinge.»
Robert Recorde und sein Gleichheitszeichen
Vergangene Kulturen haben Zahlen auf sehr unterschiedliche Weise geschrieben. Die alten Römer zum Beispiel benutzten Buchstaben: I für 1, V für 5, X für 10, C für 100 und so weiter. Mit diesem System braucht man immer mehr Buchstaben, je größer die Zahlen werden. Und Rechnen kann schwierig sein: Versuchen Sie lediglich mit Bleistift und Papier MCCXIV mit CCCIX zu multiplizieren.
Unsere vertraute Dezimaldarstellung ist vielseitiger und für Berechnungen besser geeignet. Statt neue Zeichen für immer größere Zahlen zu erfinden, kommt sie mit einem festen Satz Zeichen aus; in westlichen Kulturen sind das 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Mit größeren Zahlen wird man fertig, indem man dieselben Zeichen in unterschiedlichen Positionen schreibt. Beispielsweise bedeutet 525
5 × 100 + 2 × 10 + 5 × 1
Das Zeichen «5» ganz rechts steht für «fünf», während dasselbe Zeichen ganz links «fünfhundert» ausdrückt. Ein Stellensystem wie dieses braucht ein Zeichen für null, sonst kann es nicht zwischen Zahlen wie 12, 102 und 1020 unterscheiden.
Man spricht auch vom Zehner- oder Dezimalsystem, weil der Wert einer Stelle jeweils mit 10 multipliziert wird, wenn man eine Stelle weiter nach links rückt. Es gibt keinen besonderen Grund, die 10 als Grundzahl oder Basis zu verwenden, mit Basis 7 oder 42 ginge es ebenso gut. Tatsächlich kann man jede natürliche Zahl (größer als 1) als Basis nehmen, allerdings braucht man bei Grundzahlen über 10 neue Zeichen für die zusätzlichen Ziffern.
Die Zivilisation der Maya, die es seit etwa 2000 vor Chr. gab und die zwischen 250 und 900 ihre Blütezeit in Südamerika erlebte, benutzte als Basis 20. Bei ihnen bedeuteten die Zeichen 5 - 2 - 14 also
5 × 20 × 20 + 2 × 20 + 14 × 1
also 2054 in unserer Schreibweise. Für die 1 machten sie einen Punkt, für die 5 einen waagerechten Strich und sie kombinierten diese Zeichen, um die Zahlen von 1 bis 19 zu schreiben. Seit dem Jahr 36 benutzten sie ein merkwürdiges ovales Zeichen für 0. Dann stapelten sie diese 20 Ziffern übereinander, um die aufeinanderfolgenden Stellen ihres 20er-Systems zu kennzeichnen.
Links die Zahlen 0 – 29 in Maya-Schreibweise;
rechts das Symbol für 5 × 20 × 20 + 2 × 20 + 14 × 1
Häufig wird behauptet, die Maya hätten die 20 als Grundzahl genommen, weil sie mit Fingern und Zehen zählten. Ich stieß auf eine andere Erklärung, während ich dieses Kapitel schrieb. Vielleicht zählten sie ja mit Fingern und Daumen, wobei der Daumen für 5 stand. Dann wäre jeder Finger ein Punkt und jeder Strich ein Daumen, und man könnte alles mit zwei Händen machen. Wir haben zugegebenermaßen keine drei Daumen, aber da lassen sich schon Auswege mit Hilfe der Hände finden, und für die Zeichen ist es kein Problem. Was die ovale Form für die 0 angeht: Finden Sie nicht auch, dass sie einer Faust ähnlich sieht? In der Bedeutung: keine Finger, kein Daumen.
Das ist eine wilde Spekulation, aber mir gefällt sie.
Noch viel früher, etwa um 3100 v. Chr., waren die Babylonier sogar noch ehrgeiziger, indem sie als Basis 60 benutzten. Babylon ähnelt einem Märchenland mit seinen biblischen Geschichten vom Turm zu Babel, von Schadrach im Feuerofen Nebukadnezars und romantischen Legenden über die Hängenden Gärten der Semiramis. Aber Babylon gab es wirklich, und viele archäologische Überreste im Irak haben überdauert. Die Bezeichnung «babylonisch» wird häufig für verschiedene Gesellschaften benutzt, die im Gebiet zwischen Euphrat und Tigris kamen und gingen und zahlreiche kulturelle Aspekte gemeinsam hatten.
Wir wissen viel über die Babylonier, weil sie auf Tontafeln schrieben, von denen mehr als eine Million überdauert haben, nicht selten, weil sie sich in Gebäuden befanden, die Feuer fingen, und der Ton dadurch hartgebrannt wurde. Die babylonischen Schreiber benutzten kurze Stöcke mit zugespitzten Enden, um damit keilförmige Zeichen in den Ton zu ritzen. Die überkommenen Tontafeln enthalten alles Mögliche, von der Haushaltsführung bis zu astronomischen Tabellen, und einige gehen auf die Zeit um 3000 v. Chr. oder davor zurück.
Babylonische Zahlzeichen wurden etwa um 3000 v. Chr. eingeführt; es gibt zwei Symbole für 1 und 10, die man zu Gruppen zusammenfasste, um alle natürlichen Zahlen bis 59 darzustellen.
Die 59 Gruppen wirken wie einzelne Ziffern in einem Zahlensystem mit Grundzahl 60, auch als Sexagesimalsystem bekannt. Um meinem Drucker das Kinderkriegen zu ersparen, gehe ich wie die Archäologen vor und schreibe babylonische Zahlen so:
5,38,4 = 5 × 60 × 60 + 38 × 60 + 4 = 20 284 im Dezimalsystem
Babylonische Zahlzeichen von 1 bis 59
Die Babylonier hatten (bis zu den späten geschichtlichen Perioden) kein Symbol, das die Rolle der 0 spielte, deswegen hatte ihr System eine gewisse Mehrdeutigkeit, die sich meist aufgrund des Zusammenhangs, in dem die Zahlen standen, ausräumen ließ. Für erhöhte Genauigkeit nutzten sie auch ein Zeichen, unserem Dezimalpunkt entsprechend, das die Zahlen rechts von ihm als Vielfache von 1/60, 1/60 × 1/60 = 1/3600 und so weiter auswies. Archäologen schreiben ein Semikolon für dieses Symbol. Zum Beispiel:
12,59;57,17 = 12 × 60 + 59 + 57/60 + 17/3600 = 779,955
im Dezimalsystem (in guter Näherung).
Etwa 2000 astronomische Tafeln wurden gefunden, hauptsächlich gewöhnliche Tabellen, Vorhersagen von Finsternissen und dergleichen. 300 davon sind allerdings ambitionierter – Beobachtungen der Bahnen von Merkur, Mars, Jupiter und Saturn beispielsweise. Die Babylonier waren erstklassige Beobachter, und ihr Wert für die Umlaufzeit des Mars betrug 12,59;57,17 Tage – etwa 779,955 Tage wie soeben berechnet. Der heutige Wert beträgt 779,936 Tage – eine Abweichung von 27 Minuten!
Spuren des Sexagesimalsystems durchziehen auch unsere Kultur. Wir unterteilen die Stunde in 60 Minuten und die Minute in 60 Sekunden. Auch bei Winkelmaßen unterteilen wir einen Grad in 60 Bogenminuten und eine Minute in 60 Sekunden – dieselben Wörter in einem anderen Zusammenhang. In der Astronomie deuteten die Babylonier die Ziffer, die normalerweise mit 60 × 60 hätte multipliziert werden müssen, stattdessen als Vielfaches von 6 × 60. Die Zahl 360 könnte eine praktische Näherung für die Zahl der Tage im Jahr gewesen sein; allerdings wussten die Babylonier, dass 365 und ein bisschen viel näher daran lag, und sie wussten sogar, wie groß das bisschen war.
Niemand weiß wirklich, warum die Babylonier die Basis 60 benutzten. Die Standarderklärung lautet, dass 60 die kleinste Zahl ist, die sich durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilen lässt. An alternativen Erklärungen ist kein Mangel, aber es gibt nicht viele belastbare Indizien. Bekannt ist, dass die 60er-Basis auf die Sumerer zurückgeht, die in demselben Gebiet lebten und es zwischenzeitlich auch beherrschten, aber das ist wenig hilfreich. Wenn Sie mehr wissen wollen, hier sind ein paar gute Ausgangspunkte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Babylonian_numerals
www.gap-system.org/~history/HistTopics/Babylonian_numerals.html
Wahrscheinlich haben Sie schon von magischen Quadraten gehört – Zahlen im Gitter, die dieselbe Summe ergeben, wenn man sie waagerecht, senkrecht oder diagonal addiert. Magische Sechsecke sind etwas Ähnliches, nur dass das Gitter nun eine Honigwabenstruktur hat und die natürlichen Richtungen, in denen die Zahlen gelesen werden müssen, um jeweils 120° gedreht sind. Im Sammelsurium (Seite 328) habe ich Ihnen erklärt, dass es nur zwei mögliche magische Sechsecke gibt, von den per Symmetrie verwandten einmal abgesehen: ein dummes der Größe 1 und ein vernünftiges der Größe 3.
Die einzig möglichen normalen magischen Sechsecke der Größe 1 und 3 und ein anormales Hexagon der Größe 7
Das ist richtig für «normale» magische Sechsecke, in denen die Zahlen aufeinanderfolgende natürliche Zahlen sind, die mit 1, 2, 3, … beginnen. Es stellt sich aber heraus, dass es mehr Möglichkeiten gibt, falls man «anormale» zulässt, bei denen die Zahlen zwar weiterhin aufeinanderfolgen, aber mit einer höheren Zahl als 1 beginnen, zum Beispiel 3, 4, 5, … Das größte bekannte derartige Sechseck hat Zahray Arsen 2006 entdeckt. Es hat Größe 7, die Zahlen erstrecken sich von 2 bis 128 und die magische Konstante – also die Summe der Zahlen in jeder waagerechten und schrägen Reihe – ist 635. Arsen hat auch irreguläre Hexagone der Größen 4 und 5 gefunden. Schauen Sie mal bei
http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_hexagon
http://www.mathematische-basteleien.de/magischessechseck.htm
Einfache Fragen haben nicht unbedingt einfache Antworten. Hier folgt ein berühmtes Beispiel. Sie können es mit Papier und Bleistift oder einem Taschenrechner erkunden, aber was es in voller Allgemeinheit leistet, erstaunt sogar die besten Mathematiker der Welt. Sie glauben die Antwort zu kennen, aber beweisen kann sie niemand. Das Problem geht so:
Beginnen Sie mit einer ausgedachten Zahl. Dann wenden Sie die folgenden Regeln immer und immer wieder an:
Falls die Zahl gerade ist, teilen Sie durch 2.
Falls sie ungerade ist, multiplizieren Sie mit 3 und addieren 1.
Was passiert?
Ich habe die 11 gewählt. Sie ist ungerade, also ist die nächste Zahl 3 × 11 + 1 = 34. Die ist gerade, also teile ich durch 2 und erhalte 17. Das ist ungerade und führt zu 52. Danach geht es weiter mit 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Von da an geht es immer weiter mit 4, 2, 1, 4, 2, 1. Also nehmen wir eine dritte Regel dazu:
Hören Sie auf, wenn 1 erreicht wird.
1937 fragte sich Lothar Collatz, ob man immer zur 1 kommt, ganz gleich, mit welcher Zahl man startet. Auch mehr als 70 Jahre danach kennen wir die Antwort noch nicht. Das Problem hat einige weitere Namen: Syracuse-Problem, 3n + 1 – Problem, Ulam-Problem. Häufig wird es als Vermutung formuliert, die die Frage von Collatz bejaht, und das glauben auch die meisten Mathematiker.
Das Schicksal der Zahlen 1 – 20, und wohin sie noch führen.
Was das Collatz-Syracuse-Ulam-Problem bzw. die Vermutung so schwierig macht, ist die Tatsache, dass die Zahlen im Verlauf nicht immer kleiner werden. Die Kette, die mit 15 beginnt, schafft es bis 160, bevor sie wieder herunterkommt. Die gute alte 27 explodiert geradezu:
27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1186 → 593 → 1780 → 890 → 445 → 1336 → 668 → 334 → 167 → 502 → 251 → 754 → 377 → 1132 → 566 → 283 → 850 → 425 → 1276 → 638 → 319 → 958 → 479 → 1438 → 719 → 2158 → 1079 → 3238 → 1619 → 4858 → 2429 → 7288 → 3644 → 1822 → 911 → 2734 → 1367 → 4102 → 2051 → 6154 → 3077 → 9232 → 4616 → 2308 → 1154 → 577 → 1732 → 866 → 433 → 1300 → 650 → 325 → 976 → 488 → 244 → 122 → 61 → 184 → 92 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
Man braucht 111 Schritte bis zur 1. Aber immerhin kommt man schließlich dorthin.
Diese Art Ketten geben zum Grübeln Anlass: Gibt es vielleicht eine Zahl, für die der Prozess noch explosiver verläuft und sich in Richtung Unendlich bewegt? Natürlich wird es immer auf und ab gehen. Jede ungerade Zahl führt zu einem Anwachsen, aber keine Zahl kann zweimal hintereinander wachsen: Wenn n ungerade ist, ist 3n + 1 gerade, sodass der nächste Schritt die Division durch 2 ist. Aber das Ergebnis ist dann immer noch größer als n, eben (3n + 1)/2. Wenn das jedoch wieder gerade ist, erhalten wir etwas, das kleiner ist als n, nämlich (3n + 1)/4. Was passiert, ist also ziemlich verwickelt.
Sollte keine Zahl nach Unendlich wandern, gibt es die Möglichkeit, dass es eine andere Schleife als 4 → 2 → 1 gibt, in die der Prozess hineinläuft. Es ist bewiesen, dass jeder solche Zyklus mindestens 35 400 Stationen haben müsste.
Bis zu 100 Millionen ist die Zahl, die am längsten braucht, um die 1 zu erreichen, 63 728 127; sie braucht 949 Schritte.
Computerberechnungen zeigen, dass jede Startzahl bis zu 19 × 258 = 5,48 × 1018 schließlich bei der 1 landet. Das ist eine eindrucksvoll hohe Zahl, und es bedarf einer Menge Theorie dazu – man testet nicht einfach alle Zahlen der Reihe nach. Andererseits zeigt das Beispiel von Skewes’ Zahl (Seite 67), dass 1018 nicht wirklich groß ist, folglich ist die Computerberechnung nicht so überzeugend, wie man meinen könnte. Falls es eine Ausnahmezahl gibt, die nicht bei 1 endet, muss sie gigantisch sein; darauf weist alles hin, was wir bislang über die Frage wissen.
Wahrscheinlichkeitsberechnungen deuten an, dass die Chance, dass eine Zahl sich nach Unendlich aufschaukelt, gleich Null ist. Derartige Berechnungen sind allerdings nicht exakt, weil die Zahlen, um die es geht, nicht wirklich zufällig sind. Sicher können noch Ausnahmen auftreten, aber selbst wenn die Berechnungen exakt wären, würden sie die Möglichkeit einer anderen Schleife nicht ausschließen.
Lässt man auch 0 oder negative ganze Zahlen zu, treten noch vier weitere Zyklen auf. In allen kommen Zahlen kleiner als –20 vor, vielleicht mögen Sie selbst danach suchen (Antwort Seite 349). Nun lautet die Vermutung: Mehr als diese 5 Zyklen kommen nicht vor.
Es gibt auch Beziehungen zu chaotischen Dynamiken und fraktaler Geometrie, die zwar einige wunderschöne Ideen und Bilder beisteuern, aber das Problem auch nicht lösen. Im Internet findet man viel Information zu dem Thema, beispielsweise:
http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture
http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html
www.numbertheory.org/3xþ1/
Juwelier Schwätzer hatte Frau Schröder versprochen, ihre neun Teile einer Goldkette wieder zu einer kompletten Gliederkette zusammenzufügen. Es würde 1 € kosten, eine Verbindung aufzutrennen, 2 € sie wieder zu verbinden, insgesamt also 3 € pro Verbindung. Würde der Juwelier ein Glied am Ende jedes Teilstücks auftrennen und die Stücke eins nach dem andern verbinden, käme er auf Kosten von 27 €. Er hatte jedoch versprochen, die Kosten für eine neue Kette zu unterschreiten, und das wären 26 €. Helfen Sie Herrn Schwätzer, Verlust zu vermeiden – und, was noch wichtiger ist, lassen Sie Frau Schröder so wenig wie möglich zahlen – indem Sie einen besseren Weg finden, die Stücke zu verbinden.
Neun Kettenstücke
Unsere erste Katze, die sich des Namens Seamus Android erfreute, war wahrscheinlich die einzige Katze auf der Welt, die nicht auf ihren Pfoten landete. Seamus tat sich schwer. Die Treppe kam er immer kopfüber herunter, Stufe für Stufe. Einmal versuchte Avril, ihn zu trainieren, indem sie ihn rücklings über ein dickes Kissen hielt und dann losließ. Er mochte das Spielchen, machte aber keine Anstalten, sich im Fall zu drehen.
Ups … Und jetzt?
Das hat auch mit Mathematik zu tun. Jeder bewegte Körper hat einen so genannten Drehimpuls, der, vereinfacht gesagt, der Masse multipliziert mit der Winkelgeschwindigkeit um eine geeignete Achse gleich ist. Newtons Bewegungsgleichungen bedingen, dass der Drehimpuls eines bewegten, kräftefreien Körpers erhalten bleibt, sich also nicht ändert. Wie kann sich also eine fallende Katze drehen, ohne etwas zu berühren?
Nicht allein Katzen sind die sprichwörtlichen Fall-Beispiele. Toast ist ein weiteres. Immer landet er auf der Marmeladenseite. Wenn nicht, haben Sie die Marmelade auf die falsche Seite geschmiert. Merkwürdigerweise ist an dieser Legende etwas Wahres. Robert Matthews hat die Fallbewegung von Toast analysiert; der scheint tatsächlich vorzugsweise so zu landen, dass Marmelade auf dem Boden verteilt wird und der Toast einfach hin ist. Eine weitere Bekräftigung für Murphys Gesetz: Was schiefgehen kann, geht auch schief.