[1] Barbeau, E. J., Klamkin, M. S., M.ser, W. O. J., Five hundred mathematical challenges. The Mathematical Association of America, 1995, 228 pp.
[2] Coxeter, H. s. M., Fundamentos de Geometría. Limusa-Wiley, s. A., 1971, 518 pp.
[3] Deulofeu, J., Una recreación matemática: historia, juegos y problemas. Planeta, s. A., 2001, 266 pp.
[4] Dunn, A., Desafíos Matemáticos. RBA Libros, s. A., 2008, 168 pp.
[5] Halmos, P. r., Problems for mathematicians young and old. The Mathematical Association of America, 1991, 318 pp.
[6] Rektorys, K., Survey of applicable mathematics. The M.I.T. Press, 1969, 1370 pp.
[7] Zawaira, A., Hitchcock, G., A primer for mathematics competition. Oxford University Press, 2009, 344 pp.
[8] Zwillinger, D., Standard mathematical tables and formulae. CRC Press, 1996, 812 pp.
Se recoge en este libro una colección de problemas, con sus respectivas soluciones, los cuales han surgido de tres fuentes diferentes: el antiguo concurso matemático Matenet1, la antigua revista de Tecnun Berriak y la actual sección Aventúrate de Tecnun NEWS http://www.tecnun.es.
Estos problemas tienen como denominador común que ayudan a razonar desde el punto de vista matemático; el numerador lo forman temas seleccionados de dificultad variable, con una exigencia de conocimientos mínimos, que va desde un último curso de Bachillerato a un primer curso de Ingeniería o similar.
Se ha intentado que los problemas aportados sean originales, aunque ¡qúe difícil es ser totalmente original! Todo nuevo problema suele tener una amplia colección de antiguos problemas que se relacionan con él, e incluso alguno de ellos puede ser equivalente al que se pretende sea nuevo.
Conscientes de esta realidad, no dudamos en presentar esta nueva colección de retos matemáticos, asequibles a una gran mayoría de personas, con la esperanza de que disfruten con ellos, como así ha sido nuestra experiencia desde el primer Concurso Matenet de 2000 (Año Mundial de las Matemáticas) hasta el presente.
En la redacción de este volumen se ha seguido el esquema Enunciado/Solución.
Consejos:
a) Lectura atenta del enunciado.
b) Situación del problema dentro de los conocimientos matemáticos.
c) Elección del método más adecuado.
d) No ceder hasta conseguir resolver el problema en un tiempo razonable... o, sin dejar de haberlo intentado, ver en la correspondiente solución cómo se podía haber resuelto.
El intento y/o logro de superación de estos retos matemáticos trae consigo una serie de indudables beneficios:
a) Sirve de autoevaluación de los conocimientos y de la capacidad de resolver problemas matemáticos.
b) Aumenta la autoestima o al menos estimula la creatividad y forja la tenacidad en la consecución del objetivo propuesto.
c) Sirve para repasar los conocimientos adquiridos.
d) En todo caso, uno puede siempre disfrutar con la belleza de las Matemáticas. ¡Suerte!
Los autores
1. En la creación de algunos de los problemas del Concurso Matenet contribuyeron los profesores de Tecnun Manuel Pargada y José María Sarriegui.
En una finca, cuya planta tenía la forma de un trapecio PQRS (ver figura, que no ha sido dibujada a escala), se enterró un tesoro exactamente bajo el poste (situado en el punto interior T) común a dos vallados internos, AQTB y TCDS, de forma cuadrada y dispuestos como se indica en la figura.
Con el paso del tiempo y el abandono de la finca, sólo quedaron los postes situados en Q y S, cuya distancia entre ellos es de 100 metros. Todas las demás indicaciones habían desaparecido. Pero alguien recuerda que el área de la finca era de 12.500 metros cuadrados y que el tesoro estaba enterrado más cerca de S que de Q. ¿A qúe distancia de Q en metros, se encuentra el tesoro escondido?
Notación: a = QT, b = TS, f = PQ, h = RS.
La distancia QS (100 m) puede expresarse como suma de las distancias QT y TS, esto es
El área de la finca (12.500 m2) puede calcularse en función de las bases del trapecio: las distancias PQ y RS y la altura QS
Los triángulos BTS y PQS son semejantes por ser los segmentos PQ y BC paralelos. Se tiene entonces
Análogamente, los triángulos QCT y QRS son también semejantes porque los segmentos QS y CD son paralelos, luego
Igualando los segundos miembros de (1.3) y (1.4)
Al resolver el sistema formado por (1.2) y (1.5), se obtienen dos soluciones:
Se concluye entonces que
es la distancia de Q al tesoro, esto es, la solución del problema.
Dos amigos A y B salen de sus respectivas casas y se ponen a correr en el mismo instante, con sus relojes marcando en ese preciso momento exactamente las doce del mediodía. Ambos corren a velocidad constante, en línea recta, cada uno en la dirección de la casa del otro, con ánimo de encontrarse en un lugar intermedio.
Resulta que A corre a velocidad doble de la velocidad de B. Se encuentran media hora despúes de haber salido y en ese momento el reloj de A (que funciona bien) marca, como es lógico, las doce horas y treinta minutos, mientras que el reloj de B (que adelanta) marca las doce horas y treinta y un minutos. Despúes regresa cada uno a su propia casa.
Al día siguiente, A y B tratan de repetir la misma operación. B pone en hora su reloj, justamente a las doce horas del mediodía (de modo que los relojes de A y B en ese momento marcan otra vez lo mismo) y sale corriendo en ese instante en dirección de la casa de A, con la misma velocidad que el día anterior. Sin embargo A retrasa su salida 15 minutos y corre en dirección de la casa de B, en esta ocasión, a la mitad de la velocidad de B.
¿Qúe hora marcará el reloj de B cuando A y B se encuentren?
Notación: d =distancia entre las casas de A y B, v =velocidad de B.
En la primera carrera, la distancia d se puede expresar como suma de las
distancias recorridas por A y B, esto es,
En la segunda carrera, si t indica el tiempo (en minutos) que, a partir de las 12 horas, A y B tardan en encontrarse, resulta
Resolviendo el sistema formado por (1.6) y (1.7), se obtiene t = 65 min.
De la primera carrera, se deduce que el reloj de B adelanta un minuto cada 30 minutos. Luego en 65 minutos habrá adelantado 65/30 minutos, es decir, 2 minutos y 10 segundos. Por tanto, la hora marcada por B en el momento del encuentro con A será (13 horas y 5 min) + (2 min y 10 s) = 13 horas, 7 min y 10 s.
De una función real y = f(x), de variable real,
con a y b parámetros racionales, a > 0, b > 0, se sabe que para
la función tiene uno de sus puntos de inflexión. Hállese el cociente
entre los valores máximo M, y mínimo m, de f(x).
Ayuda: De una identidad de la forma
donde p, q, r, s son números racionales, q y s positivos, y ambos miembros de la identidad números irracionales, se concluye necesariamente que p = r y q = s.
La función y = f(x) es
y tiene un punto de inflexión en
La derivada primera de f(x) es
Y la derivada segunda
La función tiene simetría par y el eje de abscisas es una asíntota horizontal como se observa en la figura siguiente, para el caso particular a = 1, b = 1.
Como la función es derivable para todo x real, los máximos y mínimos relativos, que son extremos relativos, cumplen por tanto f′(x) = 0. La función exponencial toma valores siempre mayores que 0, luego igualando (1.9) a 0, se obtiene, simplificando, la ecuación
de la que se deducen tres soluciones:
La solución x1 = 0 corresponde a un mínimo relativo de f(x), pues sustituyendo en (1.10)
por ser a > 0 y b > 0.
Y con (1.8), evaluamos la función en el mínimo
Los puntos de inflexión de la función se hallan resolviendo la ecuación f′′(x) = 0. Igualando (1.10) a 0 y simplificando, se obtiene la ecuación bicuadrada
que se puede resolver con el cambio de variable u = x2, y da lugar a una ecuación de segundo grado. De las cuatro soluciones posibles para x, se identifica la que corresponde con el punto de inflexión en 
(no puede ser otra), de modo que
Elevando al cuadrado los dos miembros y operando
Usando la nota de ayuda del enunciado se obtiene el sistema
del que se obtiene como solución
Luego las soluciones x2 y x3 de (1.11) son x2 = 3 y x3 = −3. Estos valores de x corresponden a dos máximos relativos de f(x), pues en (1.10) se comprueba que f′′(x) < 0. Para estos valores, la función vale
Teniendo en cuenta la continuidad de f(x), la localización de los extremos relativos y que para x → ±∞, es f(x) → 0, los tres extremos relativos son absolutos. Por tanto, de (1.12) y (1.13) se tiene que m = -3 y M = 
.
Luego el cociente es
Se tienen dos recipientes abiertos R1 y R2, cada uno de ellos con una mezcla homogénea de líquidos miscibles, de diferente naturaleza, entre los que se encuentra presente el agua. El volumen de líquido de cada recipiente es el mismo y se sabe que vale V . Se desconocen cúantos líquidos de naturaleza distinta del agua están presentes en las mezclas y sus cantidades.
Se realiza la siguiente operación: se llena con la mezcla de R1 una cuchara de volumen V desconocido, V < V , y se vierte completamente su contenido en R2; se homogeneiza la mezcla resultante de R2, y se vuelve a llenar la misma cuchara con la nueva mezcla de R2, se vierte completamente su contenido en R2, y se homogeneiza la mezcla resultante en R1.
Habiendo analizado las cantidades de agua en R1, antes y despúes de la operación, se ha observado que la cantidad de agua en R1 ha aumentado un 
. Análogamente, habiendo analizado las cantidades en R2, antes y despúes de la operación, se ha observado que la cantidad de agua en R2 ha disminuido en un 
.
¿Cúal es la capacidad V de la cuchara utilizada si el volumen V vale exactamente 0,123 litros?
Sean x1 y x2 las cantidades de agua que hay, antes de la operación, en los recipientes R1 y R2, respectivamente. Se denotan con 
y 
a las nuevas cantidades de agua, despúes de la operación, en los recipientes citados.
Al trasladar con la cuchara parte de la mezcla de R1 a R2, el primer recipiente se queda con un volumen de líquidos V − V y el segundo con un volumen V + v. Las cantidades x1 y x2 se habrán convertido en otras denotadas respectivamente por 
, 
y dadas por
Al trasladar con la cuchara parte de la mezcla de R2 a R1, los dos recipientes vuelven a tener un volumen V de líquidos. Las cantidades y se habrán convertido respectivamente en y ,dadas por
Se pueden reescribir como
Sea 
Se tiene que
Sustituyendo por (1.14) y por (1.15) y operando se llega a que
Los datos del problema permiten escribir
Sustituyendo por (1.16) y por (1.17) se llega a1
Utilizando la variable auxiliar 
se llega al siguiente sistema de ecuaciones
que resuelto conduce a dos soluciones para c:
